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Segunda forma de calcularlo (fácil)

Sabemos dos cosas: Una, la longitud de la cuerda más larga que cabe en la corona circular (diez centímetros) y dos, la más importante, que el problema tiene solución.

Por tanto da igual cuando midan los radios rojo y amarillo mientras que la cuerda mayor siga midiendo diez centímetros.

Si el radio amarillo midiera cero, la cuerda se convertiría en el diámetro del círculo (ver imagen). Como el área del círculo es Pi * el radio al cuadrado; esta debe ser de Pi * cinco al cuadrado, que son aproximadamente 78,5 centímetros.

En la práctica médica, muchas veces nos empeñamos en conocer detalles que en un principio podrían parecer útiles, como en nuestro problema son las longitudes de los segmentos amarillo y rojo. Sin embargo, sabemos de antemano que de poco van a servir, que no van a cambiar la decisión final.

Parece arriesgado atreverse a poner un tratamiento o a dejar de ponerlo conociendo sólo algunos datos, como sólo la TSH para descartar hipotiroidismo o prescindir de los leucocitos para dar o dejar de dar antibióticos a una amigdalitis con otros criterios. Se ve tan arriesgado como apostar por el área de la corona conociendo sólo la cuerda máxima.

Sin embargo, estas decisiones médicas están basadas en fundamentos tan sólidos como el teorema del área de la corona y por tanto, hasta que no se demuestre lo contrario, son más que fiables. Seguro que ustedes son capaces de aplicar la paradoja del problema de la corona a otros muchos aspectos de sus vidas cotidianas en los que con datos irrelevantes son capaces de estar seguros de la solución.

Para que me dejen descansar en mi semana de vacaciones, les ofrezco hoy un bonito problema que seguramente tenga repercusiones en su vida diaria.

El problema parece sencillo a simple vista. Consiste en calcular el área de la corona circular de la foto sabiendo que la línea azul mide 10 centímetros. Esa línea azul es la línea recta (cuerda) más larga que cabe dentro de la corona. Desde este momento les digo que el problema tiene solución.

Primera forma de calcularlo (difícil)

El área de la corona debe ser igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor. El área de un círculo es Pi por el radio del círculo al cuadrado. De este modo:

Área círculo grande = Pi * segmento rojo al cuadrado.
Área círculo pequeño = Pi * segmento amarillo al cuadrado.

Área corona circular = Área circulo grande – área círculo pequeño = Pi * segmento rojo al cuadrado – Pi * segmento amarillo al cuadrado.

Sacando factor común, área corona circular = Pi * (segmento rojo al cuadrado – segmento amarillo al cuadrado).

Por otro lado, podemos dibujar dos radios tal y como en el dibujo, de forma que se forme un triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, Segmento rojo al cuadrado = Segmento amarillo al cuadrado + la mitad del segmento azul al cuadrado.

Despejando, la mitad del segmento azul al cuadrado (cinco por cinco, veinticinco) = segmento rojo al cuadrado – segmento amarillo al cuadrado.

Habíamos dicho antes que el área corona circular = Pi * (segmento rojo al cuadrado – segmento amarillo al cuadrado). Sustituyendo el paréntesis, el área de la corona circular es Pi * 25, más o menos 78,5 centímetros cuadrados.

¿Lo hemos comprendido? ¿Nos hemos perdido al sustituir a la vez las dos incógnitas? ¿Y si les digo que existe una forma mucho más sencilla de resolver el problema?

Martin Gardner escribió bastantes cuentos breves acerca de unas herramientas ideadas por extraterrestres que en realidad no eran más que el producto de su maravillosa imaginación.

Hoy quiero profundizar en la historia de un profesor de otra dimensión que acudió a la Tierra para codificar un libro con la simple ayuda de una barra de hierro. El libro que eligió fue “El Quijote”.

-Es muy sencillo escribir “El Quijote” en una barra de hierro -dijo. Sólo tengo que codificar las letras terrestres de forma que a cada una le corresponda un número de dos cifras. La A será el 01; la B, el 02; la C, el 03. Para las minúsculas, comenzaré por el 50: la a será el 51; la b, el 52; la c, el 53,… el punto equivale al 98; la coma, al 99 y el espacio al 00.
-¿Y después?
-Transformaré “El Quijote” en un inmenso número.

El profesor escribió con letras grandes las primeras palabras:

En un lugar de La Mancha…

Y a continuación su equivalencia numérica:

056400726400627257516900545500625100135114535851…

-¡Se forma un número demasiado grande!
-Sí, pero es sencillo de reducir. Basta con escribir “cero coma” delante del número. Algo así:

0,056400726400627257516900545500625100135114535851…

-¿Y ahora?
-Un extremo de mi barra representa el 0 y otro el 1. El número resultante tras la codificación de “El Quijote”, al llevar “cero coma” delante, ha de estar forzosamente entre el 0 y el 1. Por tanto, sólo tengo que marcar el lugar del número en mi barra y asunto solucionado.

Tal como prometió, el profesor marcó el complejo decimal en su barra de hierro y se volvió a su dimensión con su copia del libro de Cervantes. Y Gardner dejó que los humanos nos preguntásemos si tal sistema es posible, cuestión que hoy pretenderemos responder.

Con la tecnología actual, podemos hacer marcaciones muy precisas en una barra, pero no podemos llegar a un nivel subatómico. Así pues, el límite humano de precisión para este sistema es hacer una separación lo suficientemente fina como para separar dos átomos contiguos, pero no para marcar un átomo por la mitad.

Imaginemos que la barra de hierro midiera unos dos metros de largo y dos centímetros de diámetro. Como un palo de escoba grande.

El volumen de la barra sería de: 2 metros de largo * 0,01 metros de radio al cuadrado * 3,1416; es decir de aproximadamente 6,28*10^(-4) metros cúbicos.

Como la densidad del hierro es de 7874 kg/m3; la barra pesa 4947 gramos.

Un mol de hierro tiene 6,022*10^23 átomos y pesa 55,84 gramos. Así pues, la barra tiene 88,59 moles de hierro, que equivalen a 5,34*10^25 átomos de hierro.

La relación de los dos metros de barra respecto a la superficie de la sección de la misma (0,000314 metros cuadrados) es de 6369. Por tanto podemos deducir que a lo largo de la barra hay 8,38*10^21 átomos en fila india (calculado a partir del cociente de 5,34*10^25 átomos de hierro partido por la relación de 6369).

Aquí acaba el problema, porque sin poder hacer cortes subatómicos ni siquiera llegaríamos a “La Mancha”; nos quedaríamos codificando en la R de lugar.

Está visto por qué este sistema de marcas en barras de hierro no se ha hecho popular en nuestra civilización.