@Emilienko Cómo convertirse en entrenador Pokémon

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Una madre frió una docena de huevos para la cena de sus seis hijos y se propuso firmemente que no le sobrara ninguno.

-Yo quiero dos huevos -dijo el primer hijo.
-Yo no quiero ninguno -dijo el segundo.
-Nosotros queremos tres cada uno -dijeron los hijos tercero y cuarto.
-Yo tomaré sólo uno– acabó el quinto.

Cuando la madre hubo servido los huevos a sus primeros cinco hijos, le dijo al sexto:

-Tú tienes que tomarte tres, porque no quiero que sobre ninguno.

Éste es un sencillo ejemplo para entender lo que en Estadística se conoce como grados de libertad. Sabemos que en total los seis niños tomarán doce huevos. Hay seis niños (o variables) que pueden elegir tomar el número de huevos que deseen pero, como sabemos que la suma total de huevos será doce, el sexto hijo no podrá elegir el número de huevos que quiere cenar; así pues, éste es un modelo con cinco grados de libertad.

Si complicamos un poco el problema y decimos que hay tres niños y tres niñas y que la madre se empeña en que sigan cenando un total de doce huevos pero que la suma de huevos de los niños sea seis y de las niñas sea seis también, podemos deducir lógicamente que el modelo tendrá en este supuesto sólo cuatro grados de libertad.

En resumen y en términos vulgares, los grados de libertad es el número de hijos que pueden elegir libremente existiendo un total fijo.

Podemos llevar el problema al terreno sanitario y hablar de organización de servicios. Si en un servicio determinado hay dos consultas médicas y hay dos médicos contratados, será un servicio con cero grados de libertad. Si siguiera habiendo dos consultas pero el número de médicos contratados fuera tres, el servicio contaría con un grado de libertad: quedaría un médico libre que podría dedicarse a la investigación, a la docencia, a la gestión o a actividades tan decentes como tomarse un saliente de guardia.

Desafortunadamente, en la práctica diaria, el problema es más complejo porque no se trata sólo de pasar consultas, sino de atender quirófanos, llevar un busca, pasar la planta, responder interconsultas y muchas otras tareas variadas. Es deseable que todo servicio cuente con grados de libertad; es decir, con médicos de repuesto para dotar a su organización de cierta flexibilidad.

No todas las tareas son tan excluyentes como una consulta; algunas de ellas son solapables. Así, el profesional que se encarga de pasar una planta con pocos pacientes sencillos puede asumir un busca no muy solicitado y el que tenga un quirófano corto puede dedicar parte de su tiempo a la docencia, por ejemplo.

Por tanto, es difícil estimar con exactitud cuantos médicos necesita un servicio, aunque es fácil hacerse una idea aproximada. Sea como sea, el que se encargue de realizar esta aproximación debe tener en cuenta que tiene que haber siempre algún médico libre para resolver imprevistos. Dicho en términos estadísticos, el número de grados de libertad de un servicio médico debe ser distinto de cero.

Me gusta almorzar con el agua fría de una botella de cristal que guardo en la puerta de mi nevera. Pero mientras que como, nunca me bebo la botella entera; suelo tomarme sólo la mitad y después relleno el volumen consumido con agua del grifo. Llevo haciendo esto meses.

Anoche, volviendo a casa, me planteé una inquietante pregunta: ¿quedará todavía en la botella alguna molécula de agua esperando a ser bebida desde el día que la compré?

Para resolver este problema, calculé primero cuántas moléculas de agua hay en un litro, suponiendo (y ya es mucho suponer) que sea agua pura. Según Avogadro, el amigo de los niños, un mol de agua pesa 18 gramos. Como un litro de agua pesa un kilo, un litro de agua son 55,56 moles, lo que equivale a 3,35*10^25 moléculas de agua (más o menos 33 cuatrillones).

El primer día, al beber media botella, reduje esta cifra de moléculas a la mitad. Rellené la botella y mezclé el agua antigua con la nueva. El segundo día, volví a reducir la cifra de moléculas a la mitad, quedando la cuarta parte de las moléculas originales. Así, el tercer día quedó la octava parte y el cuarto, la dieciseisava. Se puede plantear con la siguiente ecuación cuántos días necesito para que quede una sola molécula:

Número de moléculas / 2 elevado al número de días = 1.

En resumen y despejando, (3,35 * 10^25) / 2^x = 1, donde x=84,79.

O sea, que en 85 días no debería quedar ninguna molécula original de agua. Sencillo, ¿no?

Pues no. Pronto caí en la cuenta de que el problema es mucho más complejo. Vayámonos al día en el que queda una sola molécula. Podría bebérmela o no bebérmela, con un 50% de posibilidades de hacerlo. Si no lo hago y relleno la botella, al día siguiente vuelvo a tener el mismo problema. Ésa última molécula de agua podría resultar terriblemente escapadiza y quedarse en la botella para siempre. Claro, que cada día que pase, el hecho de que siga quedando esa molécula en la botella es menos probable. Matemáticamente, la probabilidad de que quede agua en la botella a partir del día 85 se calcularía con la siguiente fórmula:

p = 1 / (2^(día – 85))

¿Hemos terminado? Yo al principio creí que sí, pero al final me di cuenta de que no. Si retrocedemos al día 84, en el que todavía quedan dos moléculas, ¿qué ocurre si me dejo las dos dentro de la botella? ¿Qué ocurre si me bebo las dos? ¿Qué pasa si el día que quedan cuatro moléculas no me bebo ninguna? Según la distribución binomial, cuanto menos moléculas quedan menos probable es que me aproxime al número de moléculas que debería beber para que se cumpliera mi modelo. ¡Todas las cuentas se vuelven inútiles!

Parece lógico pensar que la solución de 85 días es una aproximación. Cómo de buena es ésta aproximación y si existe una manera mejor de enfocar este problema son dudas con las que llevo luchando el día de hoy.

Éstas son las dos soluciones que proponemos Jorge y yo para solucionar la tercera parte del problema del Hotel del Infinito: cómo hacer sitio en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas a infinitos autobuses de turistas con infinitos turistas dentro de cada uno de ellos.

LA SOLUCIÓN DE JORGE

Numeremos los autobuses con números primos del siguiente modo:

Autobús 1: 2.
Autobús 2: 3.
Autobús 3: 5.
Autobús 4: 7.
Autobús 5: 11.

Entremos en cada autobús y demos un número a cada pasajero de forma que ése número sea una potencia cuya base es el número del autobús y el exponente es un número impar, así:

Autobús 1: 2^1, 2^3, 2^5,… (= 2, 8, 32,…).
Autobús 2: 3^1, 3^3, 3^5,… (= 3, 27, 243,…).
Autobús 3: 5^1, 5^3, 5^5,… (= 5, 125, 3125,…).
Autobús 4: 7 ^1, 7^3, 7^5,… (= 7, 343, 16807,…).
Autobús 5: 11^1, 11^3, 11^5,… (=11, 1331, 161051,…).

Hagamos sitio en el hotel. Deben cambiarse de habitación todos los que estén en habitaciones que sean un número primo o una potencia de base un número primo (por ejemplo 2^1, 3^5, 7^6,… (=2, 243, 117649,…)) y cambiarse a la habitación que es el cuadrado de su número (en el ejemplo 4, 59049, 13841287201,…). En este ejemplo, 7^6 debe cambiarse también para hacerle hueco al antiguo huésped 7^3 cuando se eleve al cuadrado ((7^3)^2 = 7^6).

Este método hace que se liberen sólo las habitaciones que van a ser ocupadas por los turistas de los autobuses y las que se necesitan para trasladar a los que ya residían en el hotel, quedando el hotel de nuevo completamente lleno.

LA SOLUCIÓN DE EMILIENKO

Numeremos también los autobuses con números primos:

Autobús 1: 2.
Autobús 2: 3.
Autobús 3: 5.
Autobús 4: 7.
Autobús 5: 11.

Entremos en cada autobús y demos un número a cada pasajero de forma que ése número sea una potencia cuya base es el número del autobús y el exponente es un número natural (par o impar), así:

Autobús 1: 2^1, 2^2, 2^3,… (= 2, 4, 8,…).
Autobús 2: 3^1, 3^2, 3^3,… (= 3, 9, 27,…).
Autobús 3: 5^1, 5^2, 5^3,… (= 5, 25, 125,…).
Autobús 4: 7 ^1, 7^2, 7^3,… (= 7, 49, 343,…).
Autobús 5: 11^1, 11^2, 11^3,… (=11, 121, 1331,…).

Hagamos sitio en el hotel. Saquemos a todo el mundo de sus habitaciones y hagamos que se trasladen a la habitación cuyo número se obtiene tras multiplicar por 6 su número de habitación: el 1 a la 6; el 2, a la 12; el 3, a la 18;… De entrada, nadie va a una habitación que esté llena. Por otro lado, los turistas de los autobuses, no pueden recibir números que sean divisibles por seis (para ser divisible por seis hay que ser divisible por dos y por tres a la vez y las potencias de base número primo no pueden tener esa propiedad).

-Pero tu solución es menos elegante -me dijo Jorge.
-¿Por qué?
-Porque dejas habitaciones vacías. La habitación número 1, por ejemplo, se queda sin nadie. Las siguientes son la 10, la 14, la 15, 20, 21, 22, 26, 28,… conforme vas avanzando por el pasillo la densidad de habitaciones libres es mayor. Además, con tu sistema, tú necesitas mudar a todos tus hospedados y yo no.
-No estoy de acuerdo. Yo tengo que mudar a todos mis hospedados, de acuerdo, pero tú, aunque no los cambies a todos, también acabas trasladando a infinitas personas. Además, con mi solución, no sólo he conseguido hacer sitio a infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno en un hotel que ya tenía infinitos ocupantes, sino que, además, he dejado libres infinitas habitaciones. Por si hubiera algún imprevisto…

Adoro las conversaciones de las noches de verano.