@Emilienko Cómo convertirse en entrenador Pokémon

Martin Gardner escribió bastantes cuentos breves acerca de unas herramientas ideadas por extraterrestres que en realidad no eran más que el producto de su maravillosa imaginación.

Hoy quiero profundizar en la historia de un profesor de otra dimensión que acudió a la Tierra para codificar un libro con la simple ayuda de una barra de hierro. El libro que eligió fue “El Quijote”.

-Es muy sencillo escribir “El Quijote” en una barra de hierro -dijo. Sólo tengo que codificar las letras terrestres de forma que a cada una le corresponda un número de dos cifras. La A será el 01; la B, el 02; la C, el 03. Para las minúsculas, comenzaré por el 50: la a será el 51; la b, el 52; la c, el 53,… el punto equivale al 98; la coma, al 99 y el espacio al 00.
-¿Y después?
-Transformaré “El Quijote” en un inmenso número.

El profesor escribió con letras grandes las primeras palabras:

En un lugar de La Mancha…

Y a continuación su equivalencia numérica:

056400726400627257516900545500625100135114535851…

-¡Se forma un número demasiado grande!
-Sí, pero es sencillo de reducir. Basta con escribir “cero coma” delante del número. Algo así:

0,056400726400627257516900545500625100135114535851…

-¿Y ahora?
-Un extremo de mi barra representa el 0 y otro el 1. El número resultante tras la codificación de “El Quijote”, al llevar “cero coma” delante, ha de estar forzosamente entre el 0 y el 1. Por tanto, sólo tengo que marcar el lugar del número en mi barra y asunto solucionado.

Tal como prometió, el profesor marcó el complejo decimal en su barra de hierro y se volvió a su dimensión con su copia del libro de Cervantes. Y Gardner dejó que los humanos nos preguntásemos si tal sistema es posible, cuestión que hoy pretenderemos responder.

Con la tecnología actual, podemos hacer marcaciones muy precisas en una barra, pero no podemos llegar a un nivel subatómico. Así pues, el límite humano de precisión para este sistema es hacer una separación lo suficientemente fina como para separar dos átomos contiguos, pero no para marcar un átomo por la mitad.

Imaginemos que la barra de hierro midiera unos dos metros de largo y dos centímetros de diámetro. Como un palo de escoba grande.

El volumen de la barra sería de: 2 metros de largo * 0,01 metros de radio al cuadrado * 3,1416; es decir de aproximadamente 6,28*10^(-4) metros cúbicos.

Como la densidad del hierro es de 7874 kg/m3; la barra pesa 4947 gramos.

Un mol de hierro tiene 6,022*10^23 átomos y pesa 55,84 gramos. Así pues, la barra tiene 88,59 moles de hierro, que equivalen a 5,34*10^25 átomos de hierro.

La relación de los dos metros de barra respecto a la superficie de la sección de la misma (0,000314 metros cuadrados) es de 6369. Por tanto podemos deducir que a lo largo de la barra hay 8,38*10^21 átomos en fila india (calculado a partir del cociente de 5,34*10^25 átomos de hierro partido por la relación de 6369).

Aquí acaba el problema, porque sin poder hacer cortes subatómicos ni siquiera llegaríamos a “La Mancha”; nos quedaríamos codificando en la R de lugar.

Está visto por qué este sistema de marcas en barras de hierro no se ha hecho popular en nuestra civilización.

Me gusta almorzar con el agua fría de una botella de cristal que guardo en la puerta de mi nevera. Pero mientras que como, nunca me bebo la botella entera; suelo tomarme sólo la mitad y después relleno el volumen consumido con agua del grifo. Llevo haciendo esto meses.

Anoche, volviendo a casa, me planteé una inquietante pregunta: ¿quedará todavía en la botella alguna molécula de agua esperando a ser bebida desde el día que la compré?

Para resolver este problema, calculé primero cuántas moléculas de agua hay en un litro, suponiendo (y ya es mucho suponer) que sea agua pura. Según Avogadro, el amigo de los niños, un mol de agua pesa 18 gramos. Como un litro de agua pesa un kilo, un litro de agua son 55,56 moles, lo que equivale a 3,35*10^25 moléculas de agua (más o menos 33 cuatrillones).

El primer día, al beber media botella, reduje esta cifra de moléculas a la mitad. Rellené la botella y mezclé el agua antigua con la nueva. El segundo día, volví a reducir la cifra de moléculas a la mitad, quedando la cuarta parte de las moléculas originales. Así, el tercer día quedó la octava parte y el cuarto, la dieciseisava. Se puede plantear con la siguiente ecuación cuántos días necesito para que quede una sola molécula:

Número de moléculas / 2 elevado al número de días = 1.

En resumen y despejando, (3,35 * 10^25) / 2^x = 1, donde x=84,79.

O sea, que en 85 días no debería quedar ninguna molécula original de agua. Sencillo, ¿no?

Pues no. Pronto caí en la cuenta de que el problema es mucho más complejo. Vayámonos al día en el que queda una sola molécula. Podría bebérmela o no bebérmela, con un 50% de posibilidades de hacerlo. Si no lo hago y relleno la botella, al día siguiente vuelvo a tener el mismo problema. Ésa última molécula de agua podría resultar terriblemente escapadiza y quedarse en la botella para siempre. Claro, que cada día que pase, el hecho de que siga quedando esa molécula en la botella es menos probable. Matemáticamente, la probabilidad de que quede agua en la botella a partir del día 85 se calcularía con la siguiente fórmula:

p = 1 / (2^(día – 85))

¿Hemos terminado? Yo al principio creí que sí, pero al final me di cuenta de que no. Si retrocedemos al día 84, en el que todavía quedan dos moléculas, ¿qué ocurre si me dejo las dos dentro de la botella? ¿Qué ocurre si me bebo las dos? ¿Qué pasa si el día que quedan cuatro moléculas no me bebo ninguna? Según la distribución binomial, cuanto menos moléculas quedan menos probable es que me aproxime al número de moléculas que debería beber para que se cumpliera mi modelo. ¡Todas las cuentas se vuelven inútiles!

Parece lógico pensar que la solución de 85 días es una aproximación. Cómo de buena es ésta aproximación y si existe una manera mejor de enfocar este problema son dudas con las que llevo luchando el día de hoy.